З НАУКОВИХ ДОПОВІДЕЙ

МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК - 2013

(МАТЕМАТИКА)

 

1. Фрактали

Мова науки стрімко змінюється в сучасному світі. Кожного разу, стикаючись з новими природними об'єктами, вчені вводять у мову науки нові поняття, категорії і терміни. Математики, а особливо фізики, при описі всього багатства і дивовижної краси навколишнього світу часом мислять образами, використовуючи естетичні категорії як критерій, якщо не істини, то принаймні художньої завершеності.

      Більшість людей мають слабке уявлення про світ що нас оточує. В даному випадку мова не йде  про якісь алегорії, чи про те що головне у нашому житті, а саме про будову нашого світу. Більшість людей думають, що все складається з прямих, трикутників, квадратів, кругів і найпростіших фігур, які ми вивчаємо на уроках геометрії в школі. Але як писав Бенуа Мандельброт, що хмара – це не сфера, блискавка – не ламана крива, а гора – не конус, і навіть листя на деревах не зовсім просте.

Одним з таких понять, який змінив традиційні уявлення про геометрію, стало поняття фракталу. Воно було введено в обіг американським математиком польського походження Бенуа Мандельбротом в 1975 році.

Розрізняють два основні типи фракталів: геометричні та алгебраїчні. До геометричних фракталів відносять «сніжинку» Коха, «серветку» і «килим» Серпінського, губку Менгера, «дракон» Хайвея-Хартера, криву Леві, дерево Піфагора та кругові фрактали, а до алгебраїчних: множину Мандельброта, множину Жуліа, басейн або фрактал Ньютона та ще багато інших.

Фракталами називаються геометричні об'єкти: лінії, поверхні та просторові тіла, що мають сильно порізану форму і володіють властивістю самоподібності. Слово фрактал походить від латинського слова fractus і перекладається як дрібний, ламаний. Самоподібність, як основна характеристика фрактала означає, що він більш-менш одноманітно влаштований в широкому діапазоні масштабів. Так, при збільшенні, маленькі фрагменти фрактала стають дуже схожими на великі.

У наші дні теорія фракталів знаходить широке застосування у різних областях людської діяльності. Окрім виключно наукового об’єкта досліджень та фрактального живопису, фрактали використовуються в теорії інформації для компресії графічних даних (в основному використовується властивість самоподібності фракталів), геометричні фрактали застосовуються для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній, алгебраїчні — для побудови ландшафтів, поверхонь морів, моделювання популяції в біології.

У радіоелектроніці в останнє десятиліття почали випускати антени, що мають фрактальну форму, займаючи мало місця, вони забезпечують досить якісний прийом сигналу. Як приклад антени такого типу, можна назвати антену мобільного телефону, що з успіхом використовується на практиці.

Економісти використовують фрактали для опису кривих коливання курсів валют.

З розвитком сучасного світу, коли комп’ютери стали «центром» життя людства, фрактали набули ще більшого розвитку. За допомогою комп’ютерів стало можливим створення фрактальних зображень найрізноманітнішої форми і кольорової палітри. Тому застосовувати фрактальні зображення можна в самих різних сферах, починаючи від створення звичайних текстур і фонових зображень і кінчаючи фантастичними ландшафтами для комп'ютерних ігор або книжкових ілюстрацій та архітектурними спорудами найвищого класу якості.

2. «Трикутник Рело» 

ТЕЗИ

до науково-дослідницької роботи
«Трикутник Рело»

Сочка Світлана Олександрівна, учениця 10 класу, Білківської ЗОШ І-ІІІ ст. Іршавського району

Науковий керівник: Погоріляк Василина Іванівна, керівник секції «Прикладна математика»

Наші предки використовували колесо, круглі колоди однакового діаметра для переміщення величезних каменів, плит, масивних скульптур, на які ставили плоску платформу з вантажем. Такий спосіб можливий тому, що коло - фігура постійної ширини. Але коло не єдина фігура постійної ширини. Більш того, таких фігур нескінченно багато. Це можуть бути симетричні фігури, побудовані на основі правильних багатокутників, так і несиметричні фігури, одна з них - трикутник Рело.

Мета роботи передбачає - вивчити основні властивості трикутника Рело, історію відкриття цієї фігури, розглянути області застосування.

І тому поставлені такі завдання:

- познайомитися з історією відкриття;

- розглянути основні геометричні характеристики та властивості трикутника Рело;

- з'ясувати області застосування трикутника Рело.

Трикутник Рело (англ. Reuleaux triangle) — плоска опукла геометрична фігура, найпростіша після кола фігура сталої ширини. Утворюється перетином трьох однакових кіл з радіусом a і центрами, розміщеними у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною a, де a — число, яке називають шириною отриманої фігури.

Деякі математики вважають, що першим продемонстрував ідею трикутника Леонард Ейлер у XVIII столітті. Проте, такий трикутник можна знайти ще раніше, у XV столітті його згадував у своїх рукописах Леонардо да Вінчі. Зокрема, трикутник Рело зустрічається в його манускриптах. Приблизно в 1514 році Леонардо да Вінчі створив одну з перших у своєму роді мап світу. Ще раніше, в XIII столітті, будівничі церкви Богоматері в Брюгге використовували трикутник Рело як форму для деяких вікон.

Особливі властивості трикутника Рело:

найменша площа;

найменший кут;

мінімальна центральна симетрія;

кочення по квадрату.

Свердло з перерізом у формі трикутника Рело дозволяє отримувати майже квадратні отвори з прямими сторонами, але заокругленими кутами. Також трикутник Рело використовується в двигуні Ванкеля, кулачкових механізмах деяких парових двигунів початку XIX століття. Незвичайний велосипед винайшов 50-річний китайський  пенсіонер,  колишній  офіцер  Гуан  Байхуа  з міста  Ціндао спорудив  і  запатентував  велосипед з "незграбними" колесами.

Форма трикутника Рело використовується також і в архітектурних  цілях.

     

Вежа Кельнський трикутник       

          Вікно у церкві Богоматері в Брюгге

     

Вікно в соборі святого Сальватора в Брюгге      

    Вікно в соборі святого Бавона в Генті

У  науково-фантастичному  оповіданні  Пола Андерсона  «Трикутне колесо» екіпаж землян здійснив аварійну посадку на планеті, населення якої не використовувало колеса, оскільки все кругле перебувало під релігійною забороною. За сотні кілометрів від місця посадки попередня земна експедиція залишила склад із запасними частинами, але перенести звідти необхідний для корабля двотонний атомний генератор без будь-яких механізмів було неможливо. У результаті землянам вдалося дотримати табу і перевезти генератор, використовуючи катки з перетином у вигляді трикутника Рело.

                01.03.2013